Modelo De Arma Media Móvil

Modelos ARMA (p, q) para el análisis de series temporales - Parte 3 Este es el tercer y último post de la mini-serie sobre modelos de media móvil autoregresiva (ARMA) para el análisis de series de tiempo. Hemos introducido modelos autorregresivos y modelos de media móvil en los dos artículos anteriores. Ahora es el momento de combinarlos para producir un modelo más sofisticado. En última instancia, esto nos llevará a los modelos ARIMA y GARCH que nos permitirán predecir los rendimientos de los activos y predecir la volatilidad. Estos modelos constituirán la base para las señales comerciales y las técnicas de gestión de riesgos. Si has leído la Parte 1 y la Parte 2 habrás visto que tendemos a seguir un patrón para nuestro análisis de un modelo de series de tiempo. Ill repetirlo brevemente aquí: Fundamento - ¿Por qué estamos interesados ​​en este modelo en particular Definición - Una definición matemática para reducir la ambigüedad. Correlograma - Trazado de un correlograma muestral para visualizar el comportamiento de un modelo. Simulación y ajuste - Ajuste del modelo a simulaciones, para asegurar que hemos entendido correctamente el modelo. Datos financieros reales - Aplicar el modelo a los precios reales de los activos históricos. Predicción - Predecir los valores posteriores para generar señales comerciales o filtros. Con el fin de seguir este artículo es aconsejable echar un vistazo a los artículos anteriores sobre el análisis de series de tiempo. Todos se pueden encontrar aquí. Criterio Bayesiano de Información En la Parte 1 de esta serie de artículos vimos el Criterio de Información de Akaike (AIC) como un medio de ayudarnos a elegir entre los mejores modelos de series temporales. Una herramienta estrechamente relacionada es el Criterio de Información Bayesiano (BIC). Esencialmente, tiene un comportamiento similar al AIC, ya que penaliza los modelos por tener demasiados parámetros. Esto puede conducir a un ajuste excesivo. La diferencia entre el BIC y el AIC es que el BIC es más estricto con su penalización de parámetros adicionales. Criterio Bayesiano de Información Si tomamos la función de verosimilitud para un modelo estadístico, que tiene k parámetros, y L maximiza la probabilidad. Entonces el Criterio de Información Bayesiano viene dado por: Donde n es el número de puntos de datos en la serie temporal. Usaremos el AIC y el BIC a continuación al elegir modelos ARMA (p, q) apropiados. Prueba de Ljung-Box En la parte 1 de esta serie de artículos Rajan mencionó en los comentarios de Disqus que la prueba de Ljung-Box era más apropiada que usar el Criterio de Información Akaike del Criterio de Información Bayesiano para decidir si un modelo de ARMA era un buen ajuste a un tiempo serie. La prueba de Ljung-Box es una prueba de hipótesis clásica que está diseñada para probar si un conjunto de autocorrelaciones de un modelo de series temporales ajustadas difieren significativamente de cero. La prueba no prueba cada retraso individual por aleatoriedad, sino que prueba la aleatoriedad sobre un grupo de retrasos. Ljung-Box Test Definimos la hipótesis nula como: Los datos de series de tiempo en cada lag son i. i.d .. es decir, las correlaciones entre los valores de la serie de población son cero. Definimos la hipótesis alternativa como: Los datos de la serie temporal no son i. i.d. Y poseen correlación serial. Calculamos la siguiente estadística de prueba. Q: Donde n es la longitud de la muestra de la serie temporal, el sombrero k es la autocorrelación de la muestra en el retraso kyh es el número de retardos bajo el ensayo. La regla de decisión sobre si rechazar la hipótesis nula es verificar si Q gt chi2, para una distribución de chi cuadrado con h grados de libertad en el percentil 100 (1-alfa). Aunque los detalles de la prueba pueden parecer un poco complejos, de hecho podemos usar R para calcular la prueba para nosotros, simplificando un poco el procedimiento. Ahora que hemos discutido el BIC y la prueba de Ljung-Box, estábamos listos para discutir nuestro primer modelo mixto, es decir, el promedio móvil auto-regresivo de orden p, q, o ARMA (p, Q). Justificación Hasta la fecha hemos considerado procesos autorregresivos y procesos de media móvil. El modelo anterior considera su propio comportamiento pasado como insumos para el modelo y, como tal, intenta captar los efectos de los participantes en el mercado, como el impulso y la reversión media en el comercio de valores. Este último modelo se utiliza para caracterizar la información de choque en una serie, como un anuncio sorpresivo de ganancias o un evento inesperado (como el derrame de petróleo BP Deepwater Horizon). Por lo tanto, un modelo de ARMA intenta capturar ambos aspectos al modelar series de tiempo financieras. Obsérvese que un modelo ARMA no tiene en cuenta el agrupamiento de volatilidad, un fenómeno empírico clave de muchas series de tiempo financieras. No es un modelo condicionalmente heteroscedásico. Para eso tendremos que esperar a los modelos ARCH y GARCH. Definición El modelo ARMA (p, q) es una combinación lineal de dos modelos lineales y por lo tanto sigue siendo lineal: Modelo de orden temporal p, q Un modelo de serie temporal,, es un modelo de media móvil autorregresiva de orden p, q . ARMA (p, q), si: begin xt alpha1 x alfa2 x ldots wt beta1 w beta2 w ldots betaq w ¿Dónde está el ruido blanco con E (wt) 0 y variance sigma2. Si consideramos al operador de cambio hacia atrás. (Ver un artículo anterior), entonces podemos reescribir lo anterior como una función theta y phi de: Podemos ver directamente que mediante el establecimiento de p neq 0 y q0 recuperamos el modelo AR (p). Similarmente si ponemos p 0 y q neq 0 recuperamos el modelo MA (q). Una de las características clave del modelo ARMA es que es parsimonioso y redundante en sus parámetros. Es decir, un modelo ARMA a menudo requerirá menos parámetros que un modelo AR (p) o MA (q) solo. Además, si reescribimos la ecuación en términos del BSO, entonces los polinomios theta y phi pueden a veces compartir un factor común, lo que conduce a un modelo más simple. Simulaciones y Correlogramas Al igual que con los modelos de media autorregresiva y móvil, ahora simularemos varias series ARMA y luego intentaremos ajustar modelos ARMA a estas realizaciones. Llevamos a cabo esto porque queremos asegurarnos de que entendemos el procedimiento de ajuste, incluyendo cómo calcular los intervalos de confianza para los modelos, así como asegurar que el procedimiento realmente recupera estimaciones razonables para los parámetros ARMA originales. En la Parte 1 y la Parte 2 construimos manualmente las series AR y MA dibujando N muestras de una distribución normal y luego elaborando el modelo de series temporales específicas utilizando rezagos de estas muestras. Sin embargo, hay una manera más directa de simular AR, MA, ARMA e incluso ARIMA datos, simplemente utilizando el método arima. sim en R. Vamos a empezar con el más simple posible no triviales ARMA modelo, a saber, el ARMA (1,1 ). Es decir, un modelo autorregresivo de orden combinado con un modelo de media móvil de orden uno. Tal modelo tiene sólo dos coeficientes, alfa y beta, que representan los primeros rezagos de la serie de tiempo en sí y los términos de ruido blanco de choque. Este modelo está dado por: Necesitamos especificar los coeficientes antes de la simulación. Vamos a tomar alfa 0,5 y beta -0,5: La salida es la siguiente: Lets también trazar el correlograma: Podemos ver que no hay autocorrelación significativa, lo que es de esperar de un modelo ARMA (1,1). Por último, vamos a tratar de determinar los coeficientes y sus errores estándar utilizando la función arima: Podemos calcular los intervalos de confianza para cada parámetro utilizando los errores estándar: Los intervalos de confianza sí contienen los valores de los parámetros reales para ambos casos, sin embargo, 95 intervalos de confianza son muy amplios (una consecuencia de los errores estándar razonablemente grandes). Ahora vamos a probar un modelo ARMA (2,2). Es decir, un modelo AR (2) combinado con un modelo MA (2). Necesitamos especificar cuatro parámetros para este modelo: alpha1, alpha2, beta1 y beta2. Vamos a tomar alpha1 0.5, alpha2-0.25 beta10.5 y beta2-0.3: La salida de nuestro modelo ARMA (2,2) es la siguiente: Y la autocorelación correspondiente: Ahora podemos intentar ajustar un modelo ARMA (2,2) a Los datos: También podemos calcular los intervalos de confianza para cada parámetro: Obsérvese que los intervalos de confianza para los coeficientes para el componente de media móvil (beta1 y beta2) no contienen realmente el valor del parámetro original. Sin embargo, con fines de negociación sólo necesitamos tener un poder predictivo que supere el azar y produzca un beneficio suficiente por encima de los costos de transacción, para ser rentable en los costos de transacción. El largo plazo. Ahora que hemos visto algunos ejemplos de modelos ARMA simulados necesitamos un mecanismo para elegir los valores de p y q cuando se ajustan a los modelos a datos financieros reales. Para determinar qué orden p, q del modelo ARMA es apropiado para una serie, necesitamos usar el AIC (o BIC) a través de un subconjunto de valores para p, q, y A continuación, aplicar la prueba de Ljung-Box para determinar si se ha logrado un buen ajuste, para valores particulares de p, q. Para mostrar este método vamos a simular en primer lugar un determinado ARMA (p, q) proceso. A continuación, analizaremos todos los valores pairwise de p in y q in y calcularemos el AIC. Seleccionaremos el modelo con el AIC más bajo y luego ejecutaremos una prueba de Ljung-Box sobre los residuos para determinar si hemos logrado un buen ajuste. Comencemos simulando una serie ARMA (3,2): Ahora crearemos un objeto final para almacenar el mejor ajuste de modelo y el valor AIC más bajo. Hacemos un bucle sobre las diversas combinaciones p, q y usamos el objeto actual para almacenar el ajuste de un modelo ARMA (i, j), para las variables de bucle i y j. Si el AIC actual es menor que cualquier AIC previamente calculado, ajustamos el AIC final a este valor actual y seleccionamos ese orden. A la terminación del bucle tenemos el orden del modelo ARMA almacenado en final. order y el ARIMA (p, d, q) se ajusta a sí mismo (con el componente d integrado a 0) almacenado como final. arma: Deja salir el AIC , Orden y coeficientes de ARIMA: Podemos ver que se recuperó el orden original del modelo ARMA simulado, es decir, con p3 y q2. Podemos trazar el corelograma de los residuos del modelo para ver si parecen una realización de ruido blanco discreto (DWN): El corelograma realmente parece una realización de DWN. Por último, realizamos la prueba de Ljung-Box para 20 retrasos para confirmar esto: Obsérvese que el valor p es mayor que 0,05, lo que indica que los residuos son independientes en el nivel 95 y por lo tanto un modelo ARMA (3,2) Buen ajuste del modelo. Sin embargo, este es precisamente el procedimiento que usaremos cuando lleguemos a ajustar modelos ARMA (p, q) al índice SampP500 en la siguiente sección. Datos financieros Ahora que hemos esbozado el procedimiento para elegir el modelo de serie temporal óptimo para una serie simulada, es bastante sencillo aplicarla a los datos financieros. Para este ejemplo vamos a elegir nuevamente el SampP500 US Equity Index. Permite descargar los precios de cierre diarios usando quantmod y luego crear el flujo de devoluciones de registros: Debe realizar el mismo procedimiento de ajuste que para la serie ARMA (3,2) simulada en la serie de devoluciones de registros del SampP500 usando el AIC: El mejor modelo de ajuste Tiene orden ARMA (3,3): Permite trazar los residuos del modelo ajustado a la corriente de devoluciones diarias de log SampP500: Observe que hay algunos picos significativos, especialmente a retrasos mayores. Esto es indicativo de un ajuste pobre. Vamos a realizar una prueba de Ljung-Box para ver si tenemos evidencia estadística de esto: Como sospechábamos, el valor p es menor que 0,05 y como tal no podemos decir que los residuos son una realización de ruido blanco discreto. Por lo tanto, hay autocorrelación adicional en los residuos que no se explica por el modelo ARMA (3,3). Próximos Pasos Como hemos discutido a lo largo de esta serie de artículos, hemos visto evidencias de heterocedasticidad condicional (agrupación de volatilidad) en la serie SampP500, especialmente en los periodos alrededor de 2007-2008. Cuando usamos un modelo GARCH más adelante en la serie de artículos veremos cómo eliminar estas autocorrelaciones. En la práctica, los modelos de ARMA nunca son generalmente buenos ajustes para los logs de las ganancias del registro. Tenemos que tener en cuenta la heterocedasticidad condicional y utilizar una combinación de ARIMA y GARCH. El siguiente artículo considerará ARIMA y mostrará cómo el componente integrado difiere del modelo ARMA que hemos estado considerando en este artículo. Haga clic abajo para aprender más sobre. La información contenida en este sitio web es la opinión de los autores individuales sobre la base de su observación personal, investigación y años de experiencia. El editor y sus autores no son asesores de inversiones, abogados, CPA u otros profesionales de servicios financieros registrados y no prestan asesoría legal, fiscal, contable, de inversión u otros servicios profesionales. La información ofrecida por este sitio web es sólo educación general. Debido a que cada situación de hecho individual es diferente, el lector debe buscar a su propio asesor personal. 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El autor y su editor se niegan a la responsabilidad de actualizar la información y renuncian a la responsabilidad de los contenidos, productos y servicios de terceros, incluso cuando se accede a través de hipervínculos y / o anuncios en este sitio.2.1 Modelos de media móvil (modelos MA) Modelos de series temporales conocidos como ARIMA Los modelos pueden incluir términos autorregresivos y / o términos de media móvil. En la semana 1, aprendimos un término autorregresivo en un modelo de series de tiempo para la variable x t es un valor retrasado de x t. Por ejemplo, un término autorregresivo de retardo 1 es x t-1 (multiplicado por un coeficiente). Esta lección define los términos del promedio móvil. Un término medio móvil en un modelo de serie temporal es un error pasado (multiplicado por un coeficiente). Dejamos (wt desbordamiento N (0, sigma2w)), lo que significa que los w t son idéntica, independientemente distribuidos, cada uno con una distribución normal que tiene la media 0 y la misma varianza. El modelo de media móvil de primer orden, denotado por MA (1) es (xt mu wt theta1w) El modelo de media móvil de segundo orden, denotado por MA (2) es (xt mu wt theta1w theta2w) , Denotado por MA (q) es (xt mu wt theta1w theta2w puntos thetaqw) Nota. Muchos libros de texto y programas de software definen el modelo con signos negativos antes de los términos. Esto no cambia las propiedades teóricas generales del modelo, si bien cambia los signos algebraicos de los valores estimados de los coeficientes y los términos (no cuadrados) en las fórmulas para ACF y las varianzas. Usted necesita comprobar su software para verificar si los signos negativos o positivos se han utilizado con el fin de escribir correctamente el modelo estimado. R utiliza signos positivos en su modelo subyacente, como lo hacemos aquí. Propiedades teóricas de una serie temporal con un modelo MA (1) Tenga en cuenta que el único valor distinto de cero en el ACF teórico es para el retardo 1. Todas las demás autocorrelaciones son 0. Por lo tanto, una muestra de ACF con una autocorrelación significativa sólo con el retardo 1 es un indicador de un posible modelo MA (1). Para los estudiantes interesados, las pruebas de estas propiedades son un apéndice a este folleto. Ejemplo 1 Supongamos que un modelo MA (1) es x t 10 w t .7 w t-1. Donde (wt overset N (0,1)). Así, el coeficiente 1 0,7. El ACF teórico se da por un diagrama de esta ACF sigue. La gráfica que se muestra es la ACF teórica para una MA (1) con 1 0,7. En la práctica, una muestra no suele proporcionar un patrón tan claro. Utilizando R, simulamos n 100 valores de muestra utilizando el modelo x t 10 w t .7 w t-1 donde w t iid N (0,1). Para esta simulación, sigue un diagrama de series de tiempo de los datos de la muestra. No podemos decir mucho de esta trama. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. Observamos un pico en el retraso 1 seguido por valores generalmente no significativos para los retrasos de 1. Obsérvese que la muestra ACF no coincide con el patrón teórico del MA subyacente (1), que es que todas las autocorrelaciones para los retrasos de 1 serán 0.Una muestra diferente tendría una ACF de muestra ligeramente diferente mostrada abajo, pero probablemente tendría las mismas características amplias. Propiedades Terapéuticas de una Serie de Tiempo con un Modelo MA (2) Para el modelo MA (2), las propiedades teóricas son las siguientes: Obsérvese que los únicos valores distintos de cero en la ACF teórica son para los retornos 1 y 2. Las autocorrelaciones para retardos mayores son 0 . Por lo tanto, una muestra de ACF con autocorrelaciones significativas en los intervalos 1 y 2, pero autocorrelaciones no significativas para retardos mayores, indica un posible modelo MA (2). Iid N (0,1). Los coeficientes son 1 0,5 y 2 0,3. Dado que se trata de una MA (2), la ACF teórica tendrá valores distintos de cero sólo en los retornos 1 y 2. Los valores de las dos autocorrelaciones distintas de cero son: Un gráfico de la ACF teórica sigue. Como casi siempre es el caso, los datos de la muestra no se comportarán tan perfectamente como la teoría. Se simularon 150 valores de muestra para el modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Donde w t iid N (0,1). A continuación se muestra el gráfico de la serie de tiempo de los datos. Al igual que con el gráfico de la serie de tiempo para los datos de la muestra MA (1), no se puede decir mucho de ella. A continuación se muestra el ACF de muestra para los datos simulados. El patrón es típico para situaciones donde un modelo MA (2) puede ser útil. Hay dos picos estadísticamente significativos en los intervalos 1 y 2, seguidos de valores no significativos para otros desfases. Tenga en cuenta que debido al error de muestreo, la muestra ACF no coincide exactamente con el patrón teórico. ACF para modelos MA (q) Una propiedad de los modelos MA (q) en general es que hay autocorrelaciones no nulas para los primeros q retrasos y autocorrelaciones 0 para todos los retrasos gt q. No unicidad de la conexión entre los valores de 1 y (rho1) en MA (1) Modelo. En el modelo MA (1), para cualquier valor de 1. El 1/1 recíproco da el mismo valor para. Por ejemplo, use 0.5 para 1. Y luego utilice 1 / (0,5) 2 para 1. Youll get (rho1) 0.4 en ambos casos. Para satisfacer una restricción teórica llamada invertibilidad. Limitamos los modelos MA (1) a tener valores con valor absoluto menor que 1. En el ejemplo dado, 1 0,5 será un valor de parámetro permisible, mientras que 1 1 / 0,5 2 no. Invertibilidad de los modelos MA Se dice que un modelo MA es invertible si es algebraicamente equivalente a un modelo de orden infinito convergente. Al converger, queremos decir que los coeficientes de AR disminuyen a 0 a medida que retrocedemos en el tiempo. Invertibilidad es una restricción programada en el software de la serie de tiempo usado para estimar los coeficientes de modelos con términos de MA. No es algo que buscamos en el análisis de datos. En el apéndice se proporciona información adicional sobre la restricción de la invertibilidad para los modelos MA (1). Nota de Teoría Avanzada. Para un modelo MA (q) con un ACF especificado, sólo hay un modelo invertible. La condición necesaria para la invertibilidad es que los coeficientes tienen valores tales que la ecuación 1- 1 y-. - q y q 0 tiene soluciones para y que caen fuera del círculo unitario. Código R para los Ejemplos En el Ejemplo 1, se representó la ACF teórica del modelo x $ _ {t} $ w $ _ {t} $. 7w t - 1. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R utilizados para trazar el ACF teórico fueron: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 retardos de ACF para MA (1) con theta1 0.7 lags0: 10 crea una variable llamada lags que oscila entre 0 y 10. plot Abline (h0) añade un eje horizontal al diagrama El primer comando determina el ACF y lo almacena en un objeto (a0) Llamado acfma1 (nuestra elección de nombre). El comando plot (el 3er comando) traza retrasos en comparación con los valores ACF para los retornos 1 a 10. El parámetro ylab etiqueta el eje y y el parámetro principal coloca un título en la gráfica. Para ver los valores numéricos de la ACF simplemente utilice el comando acfma1. La simulación y las parcelas se realizaron con los siguientes comandos. Xcarzim. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 agrega 10 para hacer la media 10. La simulación predeterminada significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) (X, xlimc (1,10), mainACF para datos de muestra simulados) En el Ejemplo 2, se representó el ACF teórico del modelo xt 10 wt. 5 w t-1 .3 w t-2. Y luego se simularon 150 valores de este modelo y se representaron las series de tiempo de muestra y la muestra ACF para los datos simulados. Los comandos R utilizados fueron acfma2ARMAacf (mac (0.5.0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 trama (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) con theta1 0,5, (X, typeb, principal serie MA simulado) acf (x, xlimc (1,10), x2) (1) Para los estudiantes interesados, aquí hay pruebas de las propiedades teóricas del modelo MA (1). Cuando x 1, la expresión anterior 1 w 2. Para cualquier h 2, la expresión anterior 0 (x) La razón es que, por definición de independencia del peso. E (w k w j) 0 para cualquier k j. Además, debido a que w t tiene una media 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para una serie de tiempo, aplique este resultado para obtener la ACF indicada anteriormente. Un modelo inversible MA es uno que puede ser escrito como un modelo de orden infinito AR que converge para que los coeficientes AR convergen a 0 a medida que avanzamos infinitamente en el tiempo. Bien demostrar invertibilidad para el modelo MA (1). A continuación, sustituimos la relación (2) de wt-1 en la ecuación (1) (3) (zt wt theta1 (z-theta1w) wt theta1z - theta2w) En el momento t-2. La ecuación (2) es entonces sustituimos la relación (4) por w t-2 en la ecuación (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Si continuáramos Sin embargo, si 1 1, los coeficientes que multiplican los retrasos de z aumentarán (infinitamente) en tamaño a medida que retrocedemos hacia atrás hora. Para evitar esto, necesitamos 1 lt1. Esta es la condición para un modelo de MA (1) invertible. Infinite Order MA model En la semana 3, veamos bien que un modelo AR (1) puede convertirse en un modelo de orden infinito MA: (xt - mu wt phi1w phi21w puntos phik1 w dots sum phij1w) Esta suma de términos de ruido blanco pasado es conocida Como la representación causal de un AR (1). En otras palabras, x t es un tipo especial de MA con un número infinito de términos remontándose en el tiempo. Esto se llama un orden infinito MA o MA (). Una orden finita MA es un orden infinito AR y cualquier orden finito AR es un orden infinito MA. Recordemos en la semana 1, observamos que un requisito para un AR estacionario (1) es que 1 lt1. Vamos a calcular el Var (x t) utilizando la representación causal. Este último paso utiliza un hecho básico sobre series geométricas que requiere (phi1lt1) de lo contrario la serie diverge. NavigationDocumentation es la media incondicional del proceso, y x03C8 (L) es un polinomio de operador de lag, racional, de grado infinito, (1 x03C8 1 L x03C8 2 L 2 x2026). Nota: La propiedad Constant de un objeto modelo arima corresponde a c. Y no la media incondicional 956. Por la descomposición de Wolds 1. La ecuación 5-12 corresponde a un proceso estocástico estacionario siempre que los coeficientes x03C8 i sean absolutamente sumables. Este es el caso cuando el polinomio AR, x03D5 (L). es estable . Lo que significa que todas sus raíces están fuera del círculo unitario. Adicionalmente, el proceso es causal siempre que el polinomio MA sea invertible. Lo que significa que todas sus raíces están fuera del círculo unitario. Econometrics Toolbox refuerza la estabilidad y la invertibilidad de los procesos ARMA. Cuando se especifica un modelo ARMA utilizando arima. Se obtiene un error si se introducen coeficientes que no corresponden a un polinomio AR estable oa un polinomio MA inversible. De forma similar, la estimación impone restricciones de estacionariedad e invertibilidad durante la estimación. Referencias 1 Wold, H. Un estudio en el análisis de series de tiempo estacionarias. Uppsala, Suecia: Almqvist amp Wiksell, 1938. Seleccione su país